Home Special Topics DFG Research: Natural Science Content

Zetafunktionen und lokalsymmetrische Räume / FOR 363

Zeta Functions and Locally Symmetric Spaces

19.09.2003

Programmbeschreibung / Programme Summary

Zetafunktionen spielen schon seit langem eine wichtige Rolle in verschiedenen Gebieten der Mathematik, neuerdings haben sie auch innerhalb der Physik und hier besonders in der Theorie des Quantenchaos einige Aufmerksamkeit gefunden. Dies gilt vor allem für die dynamischen Zetafunktionen, welche charakteristische Eigenschaften wie z.B. das Längenspektrum eines klassischen dynamischen Systems in Form einer Erzeugendenfunktion beschreiben. Andererseits hängen die analytischen Eigenschaften dieser Funktionen in Spezialfällen wie der Selbergschen Zetafunktion über die Pol- und Nullstellen eng mit spektralen Eigenschaften gewisser Differentialoperatoren wie z.B. dem Laplace-Beltrami-Operator zusammmen und stellen damit eine Beziehung zwischen einem klassischen dynamischen System und dessen Quantisierung her. Interessanterweise besitzen verschiedene der bekannten arithmetischen Zetafunktionen solch eine dynamische Interpretation, so dass sich auf solche Funktionen und die damit zusammenhängenden noch ungelösten Fragen in der Theorie der Dynamischen Systeme jüngst entwickelte Methoden anwenden lassen. Die Forschergruppe, welche sich aus Mathematikern und Physikern zusammensetzt, will einen wesentlichen Beitrag zum tieferen Verständnis von Zetafunktionen, deren Eigenschaften und ihren allgemeinen Beziehungen leisten. Dabei sollen die von den einzelnen Mitgliedern bisher in Spezialfällen für verschiedene Zetafunktionen mit ganz verschiedenen Methoden gewonnenen Ergebnisse in gemeinsamen Teilprojekten verallgemeinert und die bereits gefundenen Hinweise und daraus resultierende Vermutungen auf mögliche Zusammenhänge der jeweiligen Zugänge ausgearbeitet und bestätigt werden.

Since a long time zeta functions play an important role in different areas of mathematics, more recently they found also some interest in theoretical physics and here mainly in the theory of quantum chaos. This is true especially for dynamical zeta functions which combine characteristic properties like the length spectrum of a classical dynamical system in some kind of generating function. On the other hand it is known that the analytic properties of such functions like the Selberg zeta function are closely related through their poles and zeros to spectral properties of certain differential operators like the Laplace-Beltrami operator. In this way such functions connect properties of a classical system with those of its quantized system. Surprisingly, several of the well known arithmetic zeta functions allow for such a dynamical interpretation. Hence methods recently developed in the theory of dynamical systems can be applied to these functions and hopefully also to questions unsolved up to now related to them. The research group which combines mathematicians and mathematical physicists intends to make essential contributions to a deeper understanding of zeta functions, their properties and the relations among them. It is planned that the results for the different zeta functions derived in recent years by the individual members in special cases by using quite different methods are generalized in common projects and that recently found hints and the resulting conjectures for certain relations among the different approaches are elaborated and eventually confirmed.

Sprecher / Spokesperson:

Professor Dr. Dieter H. Mayer
Institut für Theoretische Physik der Technischen Universität Clausthal
Arnold-Sommerfeld-Straße 6 · 38678 Clausthal-Zellerfeld
Tel.: (05323) 72-3004 · Fax.: (05323) 72-3799
E-Mail: dieter.mayer@tu-clausthal.de

Further Information: www.math-phys-zeta.de/